$HOSTEL$ से $ALLEN$ तक के सबसे छोटे रास्तों की संख्या (दी गई आकृति में दिखाए अनुसार) कितनी है?

एक त्रिभुज $ABC$ की भुजा $AB$ पर,$A$ और $B$ को छोड़कर,$5$ बिंदु $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5$ हैं। इसी प्रकार,भुजा $BC$ पर $6$ बिंदु $P_6, P_7, \ldots, P_{11}$ और भुजा $CA$ पर $7$ बिंदु $P_{12}, P_{13}, \ldots, P_{18}$ हैं। बिंदुओं $P_1, P_2, \ldots, P_{18}$ का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले त्रिभुजों की संख्या है:

$4$ समांतर रेखाओं के एक समूह और $3$ समांतर रेखाओं के दूसरे समूह के प्रतिच्छेदन से बनने वाले समांतर चतुर्भुजों की संख्या क्या है?

$21$ अंग्रेजी पुस्तकों और $19$ हिंदी पुस्तकों को एक पंक्ति में कितनी तरह से रखा जा सकता है ताकि कोई भी दो हिंदी पुस्तकें एक साथ न हों?

एक समतल में $37$ सीधी रेखाएँ हैं,जिनमें से $13$ बिंदु $A$ से होकर गुजरती हैं और $11$ बिंदु $B$ से होकर गुजरती हैं। इसके अलावा,कोई भी तीन रेखाएँ (बिंदु $A$ और $B$ से गुजरने वाली रेखाओं के अलावा) एक ही बिंदु से नहीं गुजरती हैं और कोई भी दो रेखाएँ समानांतर नहीं हैं। सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या क्या है?

$T_m$,$m$ भुजाओं वाले एक नियमित बहुभुज के शीर्षों से बनने वाले त्रिभुजों की संख्या को दर्शाता है। यदि $T_{m+1}-T_m=15$ है,तो $m$ का मान ज्ञात कीजिए।